- Contraddizioni inerenti l'idea di un *Infinito* sempre maggiore di ciò
che può essere pensato.

Sono assai sconcertato dall'idea o dal concetto di Infinito, mi sembra che
esso contenga in sé qualcosa di autocontraddittorio, quasi una specie di
ossimoro, come se qualcuno un bel giorno si fosse svegliato ed avesse dato
consistenza nominalistica ad un concetto astratto e "vuoto" come quello di
"cerchio/quadrato", o di "vuoto/pieno". Se infatti l'Infinito ha in sé la
contraddizione dell'Essere, ovvero la caratteristica di "essere" e "non
essere" allo stesso tempo, esso non svanisce forse dal campo esperenziale
tra le idee "vuote" ed "ossimoriche" delle quali non dovremmo prenderci
pena? Ad esempio, qualunque sia l'idea o il concetto di Infinito che posso
concepire nella mia testa, questo *concetto* o questa *idea* non
rappresenta l'Infinito ma piuttosto una "idea" della cosa, una specie di
riduzione nominalistica, un soffio di vento dato ad una parola vuota di
significato. Cosa è infatti l'Infinito se non ciò di cui maggiore non può
essere pensato? e nel momento in cui lo "penso", non lo riduco forse ad una
"cosa" che non può essere appunto l'Infinito, ma solo una sua riduzione
nominalistica? essendo appunto l'Infinito quel "n+1" sempre maggiore di ciò
che posso scrivere qui in questo quaderno di carta. In secondo luogo:

- Contraddizioni inerenti l'idea di un Universo Infinito, ovvero un
*Multi-Verso* senza fine auto-sussistente ed auto-generato.

Non vi sembra che in un Universo Infinito anche l'Improbabile e
l'Imponderabile acquistino probabilità *infinite* di venire all'Essere? Ad
esempio, in un Universo Infinito (o *Multi_Verso*) qualunque configurazione
dell'Essere ha infinite probabilità di venire all'Essere, persino Universi
dove le Leggi Fisiche sono in aperta contraddizione o violazione di quelle
a noi note in questo *Uni_Verso* - ad esempio, diventa non improbabile, ma
*infinitamente probabile* proprio perchè concepito nell'ambito di un
Universo Infinito, *Uni_Versi* probabilistici dove l'indeterminazione
quantistica ha una consistenza tale da rendere la *magia* del mondo di
Henry Potter equivalente alle nostre Leggi Fisiche. Oppure Uni_Versi dove
il viaggio nel tempo è la quotidianeità, dove è possibile uccidere il
proprio nonno senza violare alcuna legge di autocontraddizione, oppure
altri *Uni_Versi* dove sono possibili i viaggi nell'iperspazio, come nel
mondo di Guerre Stellari, ed allora cosa dovrebbe impedire a questi
*Uni_Versi* infinitamente probabili e quindi infinitamente consistenti, di
entrare in conflitto ed in interazione con il nostro *Uni_Verso*? (cosa che
tra l'altro non mi pare che avvenga di continuo).
Allora, siamo poi sicuri che questo *Uni_Verso* sia poi *Infinito* così
come sembra concepibile nell'ambito di questa idea di "infinito"?

Grazie della pazienza ed un caro saluto a tutti.


--
< Nathan > ~ email natanaele@x-privat.org ~
la mia libreria su aNobii
http://www.anobii.com/people/natanaele/
Attenzione: questo post non verrà archiviato su Google Groups.

"Nathan" <natanaele@x-privat.org> ha scritto nel messaggio
> Allora, siamo poi sicuri che questo *Uni_Verso* sia poi *Infinito* così
> come sembra concepibile nell'ambito di questa idea di "infinito"?

l'universo non si sà se è infinito;
più che altro è quadridimensionalmente
curvo, ma il tempo è divinamente
continuo e per conseguenza anche lo spazio.
A me piace il concetto di infinito attuale.
E' più alla portata di penna.

> Grazie della pazienza ed un caro saluto a tutti.

saluti a te
Massimo

Nathan -nel gran caldo- cercava di invitare qualche papera a bere ..

Nathan wrote:
>
> - Contraddizioni inerenti l'idea di un *Infinito* sempre maggiore di ciò
> che può essere pensato.
>
> Sono assai sconcertato dall'idea o dal concetto di Infinito, mi sembra che
> esso contenga in sé qualcosa di autocontraddittorio, quasi una specie di
> ossimoro, come se qualcuno un bel giorno si fosse svegliato ed avesse dato
> consistenza nominalistica ad un concetto astratto e "vuoto" come quello di
> "cerchio/quadrato", o di "vuoto/pieno". Se infatti l'Infinito ha in sé la
> contraddizione dell'Essere, ovvero la caratteristica di "essere" e "non
> essere" allo stesso tempo, esso non svanisce forse dal campo esperenziale
> tra le idee "vuote" ed "ossimoriche" delle quali non dovremmo prenderci
> pena? Ad esempio, qualunque sia l'idea o il concetto di Infinito che posso
> concepire nella mia testa, questo *concetto* o questa *idea* non
> rappresenta l'Infinito ma piuttosto una "idea" della cosa, una specie di
> riduzione nominalistica, un soffio di vento dato ad una parola vuota di
> significato. Cosa è infatti l'Infinito se non ciò di cui maggiore non può
> essere pensato? e nel momento in cui lo "penso", non lo riduco forse ad una
> "cosa" che non può essere appunto l'Infinito, ma solo una sua riduzione
> nominalistica? essendo appunto l'Infinito quel "n+1" sempre maggiore di ciò
> che posso scrivere qui in questo quaderno di carta.

Ti dico come la vedo io:

A causa del desiderio di autorassicurazione per la propria mente -in
genere- l'uomo ragiona dal generale al particolare.
Quindi se ha una impostazione quasi esclusivamente "deduttivista" fa
fatica a capire le estrapolazioni.

Nelle estrapolazioni, infatti, si va da un caso particolare ad un caso
più generale.
In specie -nella logica- oltre il concetto di deduzione c'è -appunto- il
concetto di induzione.

Ad esempio:

Supponiamo di fare delle misure del livello del mare a varie ore del
giorno.

Avremo un insieme di dati di campionamento chiamiamolo C1.

Ora se dovressimo disegnare a mano o fornire un algoritmo a una macchina
per disegnare nel continuo (o quasi, visto che non vi è più una biro che
descrive una linea continua, ma -anche lì- la materia è fatta di fibre e
difficilmente si scriverà tra un atomo e il successivo):

Dovremmo comunque decidere una strategia di interpolazione -per C1- di
come debbano andare le rette o le curve che congiungono i punti che
abbiamo realmente "campionato"(C1).

Da ciò si capisce che stiamo espandendo una base di dati (i valori
campionati:C1) in un insieme maggiore, grazie a regole di induzione.

Nello stesso linguaggio naturale si dice che una persona "sarebbe
indotta a pensare che" quando molti dati parziali porterebbe a
estrapolare in un certo verso la modalità di cui si fornisce solo un
sottoinsieme.

Si esamini per esempio la "legge" per cui "un corpo non sottoposto a
forze esterne rimane nel suo moto rettilineo uniforme per sempre".

Non è che chi ha formulato la "legge" ha vissuto *per sempre* -> tanto
da poter dire che è vera la legge suddetta.

E' un processo di estrapolazione di tipo induttivo.

La stessa matematica di Leibniz con il concetto di studio di una
funzione, non studia l'andamento di una funzione al suo tendere ad
infinito?

Può mettere forse il valore infinito in un processo di calcolo?

Metterà solo dei valori sempre più grandi e ne studierà l'andamento.

Potrà quindi solo *immaginare* una certa linea di tendenza.

E -del resto- non è proprio la capacità di immaginare gli eventi _prima
che accadono_(?) -> la ragione per cui la specie umana si è affermata
sul pianeta?

Quindi non stiamo parlando di un gioco fine a se stesso!

: - )

Stiamo ragionando del perché le persone -potenzialmente- sono in grado
di *progettare il futuro*.

> In secondo luogo:
>
> - Contraddizioni inerenti l'idea di un Universo Infinito, ovvero un
> *Multi-Verso* senza fine auto-sussistente ed auto-generato.
>
> Non vi sembra che in un Universo Infinito anche l'Improbabile e
> l'Imponderabile acquistino probabilità *infinite* di venire all'Essere? Ad
> esempio, in un Universo Infinito (o *Multi_Verso*) qualunque configurazione
> dell'Essere ha infinite probabilità di venire all'Essere, persino Universi
> dove le Leggi Fisiche sono in aperta contraddizione o violazione di quelle
> a noi note in questo *Uni_Verso* - ad esempio, diventa non improbabile, ma
> *infinitamente probabile* proprio perchè concepito nell'ambito di un
> Universo Infinito, *Uni_Versi* probabilistici dove l'indeterminazione
> quantistica ha una consistenza tale da rendere la *magia* del mondo di
> Henry Potter equivalente alle nostre Leggi Fisiche. Oppure Uni_Versi dove
> il viaggio nel tempo è la quotidianeità, dove è possibile uccidere il
> proprio nonno senza violare alcuna legge di autocontraddizione, oppure
> altri *Uni_Versi* dove sono possibili i viaggi nell'iperspazio, come nel
> mondo di Guerre Stellari, ed allora cosa dovrebbe impedire a questi
> *Uni_Versi* infinitamente probabili e quindi infinitamente consistenti, di
> entrare in conflitto ed in interazione con il nostro *Uni_Verso*? (cosa che
> tra l'altro non mi pare che avvenga di continuo).
> Allora, siamo poi sicuri che questo *Uni_Verso* sia poi *Infinito* così
> come sembra concepibile nell'ambito di questa idea di "infinito"?
>
> Grazie della pazienza ed un caro saluto a tutti.
>

Come scoperse Cantor non tutti gli infiniti hanno la stessa dimensione.

Ad esempio i punti di una retta sono infiniti, ma non bastano per
descrivere i punti di un piano (due dimensioni).

Alla fine non è che dobbiamo ficcare gli infiniti in un contenitore
finito -come spazio e come memoria- che è il nostro cranio ..

: - )

Basterà spiegare di cosa stiamo parlando e cosa intendiamo dire ..

Poi può darsi che diciamo delle cose verosimili o della cazzate
facilmente confutabili .. stiamo a parlarci proprio per questo ..

Però ti voglio rispondere su una cosa che leggo tra le righe di quello
che hai scritto:

Secondo me la completezza dell'ESSERE *non è* tutte le configurazioni
potenzialmente possibili nel reale, anche se -nell'idea- tutto è
ipotizzabile.

Non lo è perché l'ESSERE è un processo asimmetrico.

Asimmetria dell'ESSERE:
"Non ha legittimità di esistere una cosa ed il suo contrario con la
stessa probabilità".

Da ciò discendono le leggi che osserviamo e l'idea di giustizia
nell'etica, anche se -umanamente- (per scarsità di dati) molte cose non
ce le spieghiamo nel loro presentarsi alla fenomenologia.


Saluti,

L

"L" <parmenide_2002@yahoo.it> ha scritto nel messaggio

> Come scoperse Cantor non tutti gli infiniti hanno la stessa dimensione.
>
> Ad esempio i punti di una retta sono infiniti, ma non bastano per
> descrivere i punti di un piano (due dimensioni).

Cosa intendi per "descrivere"?
Guarda che Cantor nel 1877-1878 dimostrò che è possibile mettere i punti del
piano in *corrispondenza biunivoca* con quelli di una retta (ed ovviamente
di un segmento).
Peano, successivamente, dimostrò che tra i punti del piano e quella retta
(punti di un quadrato e punti di un segmento) esiste una corrispondenza
continua (vedi la celebre "curva di Peano", che riesce a "riempire" un
quadrato).
Il tipo di corrispondenza che *non* può essere stabilita tra punti del piano
e punti della retta è: *biunivoca _e_ (bi)continua*; la differenza tra
segmento e quadrato è cioè di natura topologica (impossibilità di
omeomorfismi, essendo per definizione un omeomorfismo proprio una
corrispondenza biunivoca e bicontinua tra due spazi topologici).
Ma la nozione informale di "bastare per..." in matematica è catturata dal
concetto formale di "corrispondenza biunivoca", per cui si deve dire, in
base alla dimostrazione di Cantor, che i punti di un segmento sono dello
stesso numero dei punti di un quadrato.

Un saluto,

Marco

"Marco V."
> "L"
>> [...]
>
> si deve dire, in base alla dimostrazione di Cantor, che i punti di un
> segmento sono dello stesso numero dei punti di un quadrato.

Il che mi sembra molto ma molto paradossale, dal momento che il punto non ha
alcuna dimensione.
E allora in quale mai modo i punti sarebbero numerabili, tanto da poter
essere messi in qualche corrispondenza o relazione quantitativa?

Mi sa che in fondo quel furbacchione di Zenone, quando metteva in evidenza i
paradossi dell'infinito, ragionava meglio di questi signori :-))

Un saluto
qf

"Marco V." wrote:
>
> "L" <parmenide_2002@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
>
> > Come scoperse Cantor non tutti gli infiniti hanno la stessa dimensione.
> >
> > Ad esempio i punti di una retta sono infiniti, ma non bastano per
> > descrivere i punti di un piano (due dimensioni).
>
> Cosa intendi per "descrivere"?
> Guarda che Cantor nel 1877-1878 dimostrò che è possibile mettere i punti del
> piano in *corrispondenza biunivoca* con quelli di una retta (ed ovviamente
> di un segmento).
> Peano, successivamente, dimostrò che tra i punti del piano e quella retta
> (punti di un quadrato e punti di un segmento) esiste una corrispondenza
> continua (vedi la celebre "curva di Peano", che riesce a "riempire" un
> quadrato).
> Il tipo di corrispondenza che *non* può essere stabilita tra punti del piano
> e punti della retta è: *biunivoca _e_ (bi)continua*; la differenza tra
> segmento e quadrato è cioè di natura topologica (impossibilità di
> omeomorfismi, essendo per definizione un omeomorfismo proprio una
> corrispondenza biunivoca e bicontinua tra due spazi topologici).
> Ma la nozione informale di "bastare per..." in matematica è catturata dal
> concetto formale di "corrispondenza biunivoca", per cui si deve dire, in
> base alla dimostrazione di Cantor, che i punti di un segmento sono dello
> stesso numero dei punti di un quadrato.
>
> Un saluto,
>
> Marco

Caro Marco, grazie del tuo approfondimento.

Io la vedo così:

Cantor non esaminava "la quantità di informazione" su cui si esprime il
termine "descrizione".

Ecco perché ebbe problemi di stabilità mentale.



Ma veniamo ad esaminare la tesi di Cantor e poi mettiamola a paragone
con quanto da me affermato:

Ora, Cantor diceva:

================

Tesi di Cantor:

"I punti del piano (e dello spazio) sono "tanti quanti" sono i punti di
una retta"
================

Ad esempio a questo link vi è la dimostrazione:

http://www2.polito.it/didattica/poly...t_03/Cap1.html

Seguiamo la dimostrazione -> tanto per vedere di cosa stiamo parlando:

Sia P un generico punto del piano (però inferiore ad 1, per una prima
dimostrazione in forma semplificiata) di modo che possa essere descritto
dalla seguente coppia:

P=(x;y)=(0,a1 a2 a3 ..;0,b1 b2 b3 ..)

Ad esempio scegliamo P = (0,9; 0,9)
allora avremo
a1=9
b1=9

Si può affermare senza errare che si può fare corrispondere alle coppie
di P un punto sulla sola Retta X tale che:

il suo valore (chiamiamolo c) veda:

c=0, a1 b1 a2 b2 a3 b3 ..

Come si vede a tutte le coppie di P=(x,y) corrisponderanno altrettanti
punti c del tipo suddetto di modo che si può -allora- affermare che il
numero dei punti dello spazio bidimensionale sono descrivibili dalla
corrispondenza introdotta.

Nel nostro esempio:

se
a1=9
b1=9

c=(0,a1 b1) = 0,99

Ossia al punto (0,9;0,9) nello spazio bidimensionale <->(0,99) nello
spazio mono-dimensionale.

Critica:

E' certamente vero che se ho due bambini(Gigi e Piero) che mangiano
ciascuno ->1 mela/giorno, posso fare corrispondere il consumo di un solo
bambino (Poldo) che mangia 2 mele/giorno, infatti se la quantità delle
mele è infinita il secondo bambino non farà alcuna fatica (sempre che la
sua pancia regga) a mangiare il doppio di un solo bambino normale.

Riassumendo:

Gigi = 1 mela/giorno
Piero = 1 mela/giorno

equivalente (come consumo) a

Poldo = 2 mele/giorno

Ma rivediamo la tesi:

================

Tesi di Cantor:

"I punti del piano (e dello spazio) sono “tanti quanti” sono i punti di
una retta"

================

Nella tesi non è detto come avvenga il sistema di numerazione!

Bene, supponiamo di aggiungerlo, visto che ora (dalla dimostrazione) lo
sappiamo:

«La quantità di informazione bidimensionale -> sia distribuita sul
livello monodimensionale»

Ossia se ho (x,y)=(0,9;0,9) <-> (0,99)

Qundi se ho (x,y)=(0,8;0,9) <->(0,a1 b1 a2 b2 ..) di X = 0,89)

etc.

Allora non si può dire la tesi come esposta, ma la seguente:


================

Tesi 2 (Cantor rettificato):

è possibile trovare una funzione tale che la cardinalità dei numeri uno
spazio bidimensionale sia la stessa dei numeri di uno spazio
mono-dimensionale, [in ipotesi che (x,y) = (0.a1 a2 a3 ..; 0,b1 b2
b3..)] ma ciò non significa che lo spazio bidimensionale abbia la stessa
dimensione di quello monodimensonale: infatti quello bidimensionale ha
dimensione 2, mentre quello monodimensionale ha dimensione 1.

================

Controprova:

Domanda:

di quante dimensioni (spaziali) è costituita la retta?

Risposta:

1 dimensione

Domanda:

di quante dimensioni (spaziali) è costituito il piano?

Risposta:

2 dimensioni

Domanda:

Lo spazio del piano ha lo stesso numero di dimensioni della retta?

Risposta:

No, lo spazio della retta è inferiore allo spazio del piano, poiché 1 è
minore di 2 dimensioni.

--

Quindi nel mio intervento -parlando di spazi che si "compongono"-
dicevo:

1) Come scoperse Cantor non tutti gli infiniti hanno la stessa
dimensione.

2) Ad esempio i punti di una retta sono infiniti, ma non bastano per
descrivere i punti di un piano (due dimensioni).
[e non aggiungevo questioni di cardinalità, che implicano le
specificazioni di dire sotto quale ipotesi]

E' il modo dell'ingegneria di usare tali strumenti.

La *composizione canonica* non è tramite funzioni che *memorizzino*
alcuni dati di spazi più estesi a favore della compressione in spazi più
angusti.

La composizione canonica è per semplice proiezione monodimensionale.

Se siamo fuori dalle regole di una composizione canonica ciò andrebbe
specificato.

Io non specificavo alcun che, quindi intendevo *il modo canonico di
riferirmi agli spazi e alla loro dimensione* e non alla possibilità di
cardinalizzarli (sempre che si specifici come avvenga, perché non è
automatico che abbiano la stessa cardinalità, ma solo se sia possibile
disporre della rappresentazione ipotizzata da Cantor o analoghe .. e
questo non è banale .. poiché se devo memorizzare su un computer una
coppia di coordinate su 32 bit per un punto e poi voglio la equivalente
rappresentazione monodimensionale devo avere la regola di trasformata e
antitrasformata, altrimenti non ho realizzato un fico secco <-> come
corrispondenza).

--

Ecco, tutto qui.


Ciao,

L

"L" <parmenide_2002@yahoo.it> ha scritto nel messaggio

> Come si vede a tutte le coppie di P=(x,y) corrisponderanno altrettanti
> punti c del tipo suddetto

Esatto. E per dimostrare l'altro lato della corrispondenza biunivoca (quella
tra punti del segmento e punti del piano), basterà prendere un punto del
segmento avente ascissa d=0,d1d2d3...Di qui costruiamo i numeri reali
d'=0,d1d3d5d7d9... e d''=0,d2d4d6d8.... Questi due numeri individuano
univocamente un punto del punto Q del piano avente coordinate (d', d'').

>ma ciò non significa che lo spazio bidimensionale abbia la stessa
> dimensione di quello monodimensonale: infatti quello bidimensionale ha
> dimensione 2, mentre quello monodimensionale ha dimensione 1.

Come è risaputo, lo stesso Cantor, descrivendo in una lettera a Dedekind il
risultato della sussistenza di una corrispondenza biunivoca tra un continuo
n-dimensionale (n finito o al più numerabile) ed il continuo unidimensionale
(ossia, come si dice, tra R^n ed R), disse <<lo vedo ma non ci credo>>. "Non
ci credo", proprio perché la differenza del numero delle dimensioni *deve*
essere irriducibile, e questa irriducibilità sembrava vanificata dalla
corrispondenza biunivoca. La soluzione di questo paradosso è che il concetto
di "dimensione di uno spazio topologico" ha una natura essenzialmente
topologica, e non solamente cardinale. Questa natura topologica del concetto
di "dimensione" viene evidenziata proprio dalla impossibilità della
esistenza di una corrispondenza biunivoca e *bicontinua* tra R ed R^n: R^n
può essere biunivocamente rappresentato in R, ma tale rappresentazione non
potrà essere bicontinua; R^n può essere bicontinuamente rappresentato in R,
ma tale rappresentazione non potrà essere biunivoca.

> 1) Come scoperse Cantor non tutti gli infiniti hanno la stessa
> dimensione.

Non credo sia questo il modo corretto di esprimersi, se per "dimensione"
intendiamo proprio - come d'altra parte deve essere fatto - il concetto
topologico suddetto (cioè la dimensione di uno spazio topologico), e non il
"tipo" di infinità (numerabile, continuo etc; insomma la gerarchia dei
cardinali transfiniti aleph).
Il modo corretto è: Cantor ha dimostrato che infiniti aventi un numero
differente di dimensioni topologiche, hanno la stessa cardinalità.

> 2) Ad esempio i punti di una retta sono infiniti, ma non bastano per
> descrivere i punti di un piano (due dimensioni).
> [e non aggiungevo questioni di cardinalità, che implicano le
> specificazioni di dire sotto quale ipotesi]

Dici ancora "non bastano per...". Ora, o questa nozione "non bastano per..."
ha un significato *topologico*, e allora stai ripetendo la tesi oramai
acquisita dai matematici. Oppure ha un significato anche "cardinale", e
allora devi mostrare che l'elemento che rende irriducibile uno spazio R^n ad
uno spazio R - elemento che viene formalmente espresso dal fatto che la
corrispondenza biunivoca tra R ed R^n non può essere bicontinua - ha non
solo uno natura topologica, ma anche una natura cardinale. Sei in grado di
dimostrarlo? Io, per stabilire questo rapporto tra topologicità e
cardinalità, non vedo altro modo che dire: se una rappresentazione di R^n in
R è bicontinua (ecco il "topologico"), allora non può essere biunivoca (ecco
il "cardinale").

Un saluto,

Marco

"qf" <maurizio@NOSPAMqueffe3.net> ha scritto nel messaggio

> Il che mi sembra molto ma molto paradossale, dal momento che il punto non
> ha alcuna dimensione.
> E allora in quale mai modo i punti sarebbero numerabili, tanto da poter
> essere messi in qualche corrispondenza o relazione quantitativa?

Numerabili non lo sono, visto che parliano di continui n-dimensionali
(numerabile sarà al più il numero delle dimensioni del continuo). A meno che
tu non mi dica che la nozione di "numerabilità" precede semanticamente
quella di "corrispondenza biunivoca". E allora dovremmo discutere del solito
problema, inerente al rapporto tra semantico (ed intuitivo) e formale.
Certamente vi è un senso in cui il semantico, come intuizione semantica,
precede il formale. Ma questa precedenza non implica di per sé
l'inconsistenza dei metodi formale utilizzati dalla matematica moderna.
Quanto al modo di costruire la corrispondenza, capisco l'obiezione. Ma
proviamo ad attenerci strettamente al procedimento cantoriano.

1. Un punto di un continuo unidimensionale è individuato da un numero reale
(e di questa corrispondenza tra il geometrico ed il numerico non si può dare
strettamente una dimostrazione). Questi numeri hanno una rappresentazione
decimale. Cantor, tramite la rappresentazione decimale del numero reale che
individua un punto del continuo unidimensionale, costruisce una coppia di
numeri, la quale (in base al postulato di corrispondenza
geometrico-numerico) andrà ad individuare un punto del piano, cioè del
continuo bidimensionale. Di qui Cantor dimostra la corrispondenza punti del
segmento-->punti del piano.
2. lo stesso dicasi per i punti del piano. Di qui Cantor dimostra la
corrispondenza punti del piano-->punti del segmento.

Proviamo, allora, a far uscire il problema, analizzando passaggio per
passaggio la sequenza dimostrativa cantoriana ed, eventualmente, le premesse
"filosofiche" (cioè non strettamente formali) implicate in tali passaggi.

Un saluto,

Marco

Marco V. ha scritto:

> Proviamo, allora, a far uscire il problema, analizzando passaggio per
> passaggio la sequenza dimostrativa cantoriana ed, eventualmente, le
> premesse "filosofiche" (cioè non strettamente formali) implicate in tali
> passaggi.

A me sembra che l'opera di Cantor sia la milionesima conferma di quella tesi
che ribadisco spesso, secondo la quale ogni grande impresa concettuale trae
l'enorme energia mentale di cui necessita per compiersi da una passione
sostanzialmente "religiosa" (cioè edipica).

Ad esempio ho già ricordato diverse volte che Maupertuis riuscì a concepire
lo schema del principio di minima azione nel tentativo di dimostrare
l'esistenza di una Intenzionalità Universale (e quindi di Dio) in ogni
singolo evento dell'universo, e senza quel principio probabilmente non
esisterebbe la fisica moderna così come oggi la concepiamo.

Nel caso di Cantor, la sua ossessione era la dimostrazione dell'esistenza
dell'"infinito attuale", e che questa fosse una istanza squisitamente
religiosa è chiaro per vari motivi:

1) in Cantor, ancor più che in altri grandi matematici, è difficile separare
il delirio mistico dalla intuizione matematica, tant'è che egli era convinto
che le sue idee geniali e le sue intuizioni folgoranti gli venissero dettate
direttamente da Dio;

2) molti intellettuali religiosi (e religiosi intellettuali) reagirono
piuttosto violentemente ai lavori di Cantor; è vero che Cantor aveva creduto
di poter dimostrare l'esistenza di Dio per mezzo della matematica, ma
proprio perché la matematica di Cantor veicolava una certa concezione di
Dio, coloro che non condividevano quella concezione (o che non si sentivano
di condividerla) trovarono inaccettabile anche la matematica di Cantor.

Consiglio di leggere questo:
http://www.acmsonline.org/Dauben-Cantor.pdf
di cui metto in evidenza alcuni passi:

«This correspondence was of special significance to Cantor because he was
convinced that the transfinite numbers had come to him as a message from
God. [...] Letters (and the testimony of colleagues who knew him) reveal
that Cantor believed he was chosen by God to bring the truths of set theory
to a wider audience.»

«Unfortunately, he wrote obscurely, with references to absolute sets in
explicitly theological terms, explaining that "the true infinite or
Absolute, which is in God, permits no determination."»

--
Saluti.
D.

"Marco V."
> "qf"
>
>> Il che mi sembra molto ma molto paradossale, dal momento che il punto non
>> ha alcuna dimensione.
>> E allora in quale mai modo i punti sarebbero numerabili, tanto da poter
>> essere messi in qualche corrispondenza o relazione quantitativa?
>
> Numerabili non lo sono, visto che parliano di continui n-dimensionali
> (numerabile sarà al più il numero delle dimensioni del continuo). A meno
> che tu non mi dica che la nozione di "numerabilità" precede semanticamente
> quella di "corrispondenza biunivoca".

Riporto il tuo testo precedente:
«Ma la nozione informale di "bastare per..." in matematica è catturata dal
concetto formale di "corrispondenza biunivoca", per cui si deve dire, in
base alla dimostrazione di Cantor, che i punti di un segmento sono dello
stesso numero dei punti di un quadrato.»

Quindi la questione della numerabilità non l'ho messa in campo io.
Se dici "dello stesso numero" significa che un "numero" ci deve essere.
Altrimenti di che si sta parlando?
"Dello stesso numero" significa poi 'nella stessa quantità'.
Ma parlare di quantità nel continuo è paradossale, anche se non ci avesse
già ammonito Zenone qualche millennio fa.
Quanti punti ci sono da qui a lì?
Non si può neanche dire "infiniti", perché, in quanto punti, sono privi di
dimensioni (anche su questo verteva uno dei paradossi di Zenone).
Quindi parlare di quantità è assurdo. Il che è un altro paradosso: parlando
di numeri non si sta parlando di quantità !?!?
Azz! Lo dico sempre che avventurarsi nel continuo è avventurarsi sulle
sabbie mobili ed è raccontarsi palle a go-go.

> Quanto al modo di costruire la corrispondenza, capisco l'obiezione. Ma
> proviamo ad attenerci strettamente al procedimento cantoriano.
>
> 1. Un punto di un continuo unidimensionale è individuato da un numero
> reale (e di questa corrispondenza tra il geometrico ed il numerico non si
> può dare strettamente una dimostrazione).

Hai toccato un tasto dolente.
La retta è "fatta di" punti. Quanti? Dire 'infiniti' dice assai poco o
niente, perché anche solo in un segmento i punti sono "infiniti".
Vi si possono associare i numeri reali, ma sotto regole aggiuntive ben
precise: i numeri interi, per esempio, devono distare fra di loro di una
quantità costante (e così dicasi per ogni frazione di numero intero nella
base scelta); ma che cosa significa questa semplice formuletta? Come si
misurano sulla retta le distanze? Contando i punti? Come si contano i punti?
Insomma per ragionare sulla retta si deve ricorrere al discreto, altrimenti
si affonda in un mare di assurdità.

> Cantor, tramite la rappresentazione decimale
> del numero reale che individua un punto del continuo unidimensionale,

Vedi sopra, però questo arbitrio poteva esercitarlo con qualunque sistema
numerico. Ma il fatto di avere dieci dita ha evidentemente aiutato anche
lui.
Aggiungo che usare un sistema -- decimale o altro è irrilevante -- è di
fatto ricorrere al discreto: il fatto di allungare quanto si vuole il numero
dopo la virgola non lo fa diventare non-discreto; infatti è sempre
imbarazzante parlare di 'irrazionali' di ogni tipo (proprio geometricamente,
per esempio, la diagonale di un quadrato di lato unitario è finita, cioè un
ente geometrico discreto, ma non è rappresentabile realmente mediante un
numero; anche la lunghezza di una circonferenza è finita: idealmente
tagliata e distesa, è un'entità finita che potrebbe persino essere usata
come unità di misura in un sistema opportuno).
In conclusione, un numero reale non individua proprio niente se non lo si
riduce al discreto, e quindi se non si fa finta che il continuo "contenga"
il discreto, mentre è proprio e solo discretizzandosi che il continuo riesce
in qualche impacciato modo a rappresentarsi.

E ho l'impressione che proprio questa discretizzazione -- del tutto
arbitraria (logicamente insostenibile benché praticamente buona per chi è di
bocca buona) -- autorizzi il procedimento di Cantor.

> costruisce una coppia di numeri, la quale (in base al postulato di
> corrispondenza geometrico-numerico) andrà ad individuare un punto del
> piano, cioè del continuo bidimensionale.

Si ricordava la geometria analitica dei grandi del '600. Meno male :-)

> Di qui Cantor dimostra la
> corrispondenza punti del segmento-->punti del piano.

Non conosco il procedimento, ma è evidente che una coppia di numeri sulla
retta individua un punto nel piano.
Del resto nell'istituire il piano cartesiano che si è fatto? Si è fatto il
copia-incolla dell'asse X e lo si è ruotato in anticipo (senso antiorario)
di 90 gradi. Quindi era già chiaro che due punti qualunque, scelti sull'asse
X (anche coincidenti), con questa traslazione individuavano un punto nel
piano cartesiano.
Non c'era quindi bisogno di speciali dimostrazioni.
In effetti si è reinventato il piano cartesiano. Magari un po' in ritardo
:-)
Però con la riserva di cui sotto.

> 2. lo stesso dicasi per i punti del piano. Di qui Cantor dimostra la
> corrispondenza punti del piano-->punti del segmento.
>
> Proviamo, allora, a far uscire il problema, analizzando passaggio per
> passaggio la sequenza dimostrativa cantoriana ed, eventualmente, le
> premesse "filosofiche" (cioè non strettamente formali) implicate in tali
> passaggi.

A me pare, come dicevo sopra, che il problema sia nelle premesse (il
problema è _sempre_ nelle premesse).
Una volta discretizzato il continuo e copincollato l'asse X, la
dimostrazione mi sembra persino ovvia.

Anch'io in passato ero tentato di considerare il punto euclideo come un
"indirizzo" (in termini di numeri reali) su una retta o in un piano ecc.
Ma non mi piace più per le ragioni di cui sopra, benché molto "cartesiano" e
_praticamente_ utilissimo per quella che i vecchi Greci chiamavano
'logistica'.

Tutto sommato è logicamente più accettabile una definizione alla Dedekind:
un punto sulla retta è individuato da una "sezione", ossia da un taglio
privo di spessore, e in un piano da due tagli ortogonali, ossia
dall'intersezione di due rette ortogonali.
Questo mi sta decisamente meglio, senza parlare di numeri, decimali o no, e
quindi senza tirare in ballo di contrabbando il discreto. Infatti di una
certa "corrispondenza" si potrebbe ancora parlare: per una coppia di tagli
sulla retta si è infatti individuato un punto in un piano traslando come
sopra uno dei tagli. Dopodiché, preso per le corna il principio d'induzione
si potrebbe persino parlare di corrispondenza biunivoca, ma non è affatto
così: il principio di induzione sarebbe secondo me usato proprio male.

L'esercizio per vedere che non funziona lo si può vedere così:
- scegliamo un punto qualunque P della retta 'r' con il rasoio di Dedekind;
- associamolo a tutti i punti della retta 'r', incluso il punto P stesso;
- avremo così individuato in sostanza una retta nel piano 'p' (ascissa P e
ordinate tutti i punti della retta 'r');
- adesso consideriamo un altro P' qualunque sulla retta 'r' ed eseguiamo la
stessa operazione; dunque avremo definito una nuova retta nel piano 'p',
però abbiamo usato di nuovo la combinazione PP', e questo non è affatto
lecito se vogliamo la biunivocità della corrispondenza; dunque nella seconda
retta del piano 'p' rimarrà un "buco" corrispondente alla coppia PP',
altrimenti la biunivocità va a farsi benedire;
- scelto ora un P" dovremo escludere PP" e P'P", già utilizzati nei due casi
precedenti;
- dunque nelle "rette" successive restano "buchi" tanto più estesi quanto
più si procede nella verifica della presunta corrispondenza biunivoca.
Conclusione: la corrispondenza è biunivoca solo con l'esclusione dei "buchi"
suddetti, dunque non si può dire "ogni" come pretenderebbe il principio di
induzione; cioè non vi può essere corrispondenza biunivoca di "ogni" punto
del piano con i punti della retta.

Obiezioni? :-))

Un saluto
qf